Много студенти, които изучават усъвършенствана математика в напредналите курсове, вероятно се питат: къде се използват диференциални уравнения (DE) на практика? По правило този въпрос не се обсъжда на лекции и учителите незабавно пристъпват към решението на теорията на контрола, без да обясняват на студентите използването на диференциални уравнения в реалния живот. Ще се опитаме да запълним тази празнина.
Започваме с дефиниране на диференциално уравнение. И така, диференциалното уравнение е уравнение, което свързва стойността на производна функция със самата функция, стойностите на независима променлива и някои числа (параметри).
Най-често срещаната област, в която се прилагат диференциални уравнения, е математическото описание на природните явления. Те се използват и при решаване на проблеми, при които е невъзможно да се установи пряка връзка между някои стойности, които описват процес. Такива задачи възникват в областта на биологията, физиката и икономиката.
В биологията:
Първият съществен математически модел, описващ биологичните общности, е моделът Лотка-Волтера. Той описва популация от два взаимодействащи вида. Първият от тях, наречен хищници, умира според закона x '= –ax (a> 0) в отсъствието на втория, а вторият, жертви, при липса на хищници се размножава неограничено в съответствие със закона на Малтус. Взаимодействието на тези два вида се моделира по следния начин. Жертвите умират със скорост, равна на броя на срещите на хищници и жертви, което в този модел се приема, че е пропорционално на броя на двете популации, т.е. равна на dxy (d> 0). Следователно, y '= от - dxy. Хищниците се възпроизвеждат със скорост, пропорционална на броя на изядената плячка: x '= –ax + cxy (c> 0). Система от уравнения
x '= –ax + cxy, (1)
y '= от - dxy, (2)
описвайки такава популация, хищник е плячка и се нарича система (или модел) Trays - Volterra.
По физика:
Вторият закон на Нютон може да бъде написан под формата на диференциално уравнение
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), където m е масата на тялото, x е неговата координата, F (x, t) е силата, действаща върху тялото с координатата x в момент t. Неговото решение е траекторията на тялото под действието на посочената сила.
